Trata-se de um recurso matemático. Como a Equação de Schrödinger é uma equação diferencial linear, ela admite a superposição de soluções de algum conjunto que constitua uma base para o espaço de funções. Isso vai depender da simetria do problema que dita a escolha do sistema de coordenadas. Para átomos, por exemplo, se usam coordenadas esféricas. Então as componentes angulares da função podem ser expressas nas bases chamadas "Harmônicos Esféricos", (https://pt.wikipedia.org/wiki/Harm%C3%B4nicos_esf%C3%A9ricos )
A componente radial vai depender da forma da função que representa o potencial. No caso de átomos de um só elétron, trata-se de uma equação de Laguerre que pode ser resolvida como se mostra neste artigo:
http://www.if.ufrgs.br/~marcia/MQ_aula5.pdf.
Em verdade, a função é uma função só. Sua decomposição em uma soma de funções é um artifício matemático muito usado em equações diferenciais, já que essas funções são bases ortogonais do espaço de funções (espaço de Hilbert).
https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_space
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