Para que todo o espectro visível se desloque para o infravermelho há que se deslocar o limite violeta (400nm) para o limite vermelho (750nm). Isso dá um red-shift de:
z = (λ' - λ)/λ = (750 - 400)/400 = 0,875
Por sua vez, o red-shift relativístico é dado por:
z + 1 = ((1 + β)/(1 - β))^(1/2), donde β = ((1 + z)^2 - 1)/((1 + z)^2 + 1) =
= ((1,875^2-1)/(1,875^2+1) = 0,56
Como β = v/c, tem-se v = βc = 0,56 x 300.000km/s = 167.000 km/s
Pela lei de Hubble, v = Hr, sendo H = 70 km/s/Mpc
Donde r = v/H = 167.000/70 = 2.386 Mpc = 7.778.000.000 anos-luz
Logo, tudo o que estiver a uma distância de nós superior a essa terá todo o seu espectro de emissão visível deslocado para o infravermelho.
Note que o limite do Universo Observável está a 46 bilhões de anos-luz de nós, de modo que essa distância é apenas 17% desse limite. Em termos de volume, 99,5% do Universo Observável está além dessa distância. Para chegar a esse valor, calcule:
1 - 17%^3 = 1 - 0,17^3 = 0,995
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